Теорема Больцано-Вейерштрасса

Каждая ограниченная последовательность точек пространства $\mathbb{R}^m$ имеет сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $\{x^n\}$ – ограниченная последовательность. Рассмотрим куб $\Delta = \{x\mathpunct{:} a \leq x_k \leq b\}$, содержащий все точки $\{x^n\}$. $\text{diam}_{\infty} \Delta = |b - a|$. Разделим каждое ребро куба $\Delta$ пополам и рассмотрим замкнутые кубики, построенные на полученных при этом половинках ребер. Обозначим $\Delta^1$ любой из этих кубиков, содержащий бесконечно много точек последовательности $\{x^n\}$. Заметим, что $\text{diam}\Delta^1 = \dfrac{1}{2}\text{diam}\Delta$. Выберем некоторый элемент $x^{n_1} \in \Delta^1$. Делим теперь каждое ребро куба $\Delta^1$ пополам, получаем $2^m$ более мелких замкнутых кубиков и в качестве $\Delta^2$ берем любой из таких кубиков, содержащий бесконечно много точек исходной последовательности. $x^{n_2} \in \Delta^2\mathpunct{:} n_2 > n_1$. При этом $\text{diam}\Delta^2 = \dfrac{1}{2}\text{diam}\Delta^1 = \dfrac{1}{4}\text{diam}\Delta$. Продолжив неограниченно такое построение, получим последовательность вложенных кубов $\{\Delta^j\}$, причем $\text{diam}\Delta^j = \dfrac{1}{2^j}\text{diam}\Delta \to 0$, и подпоследовательность $\{x^{n_j}\}\mathpunct{:} x^{n_j} \in \Delta^j$. Согласно Принципу Кантора существует единственная точка $c$, принадлежащая всем кубам $\Delta^j$. Эта точка является пределом последовательности $\{x^{n_j}\}$, так как любая $\varepsilon$-окрестность точки $c$ содержит все кубики, начиная с некоторого. $\square$